Question

已知函数f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数定义知，有f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求a值；
（2）设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，通过作差判断f（x₂）与f（x₁）的大小，利用函数单调性的定义可作出判断；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，等价于2m-1＜f（x）_min，根据基本函数的值域可求出f（x）_min．

解答：（1）由f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴

2-x

2-x+1

+a=-(

2x

2x+1

+a），
∴2a=-

2x

2x+1

-

1

2x+1

=-1，
∴a=-

1

2

．
（2）f（x）在R上是增函数．
f（x）=

2x

2x+1

-

1

2

=

2x+1-1

2x+1

-

1

2

=

1

2

-

1

2x+1

设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=(

1

2

-

1

2x2+1

)-(

1

2

-

1

2x1+1

)
=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x2＞2x1，
∴

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数．
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，
则只要2m-1＜f（x）_min，
∵2^x+1＞1∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-1＜-

1

2x+1

＜0，
-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

2

，即-

1

2

＜f（x）＜

1

2

，
∴2m-1≤-

1

2

，
∴m≤

1

4

．即m的取值范围为：（-∞，

1

4

]．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，对于函数奇偶性、单调性常用定义解决，而恒成立则往往转化为函数最值问题．