Question

以O为原点，

OA

所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．若

OA

•

AG

=1，点A的坐标为（t，0），t∈（0，+∞），点G的坐标为（m，3）．
（1）若以O为中心，A为顶点的双曲线经过点G，求当|

OG

|取最小值时双曲线C的方程；
（2）过点N（0，1）能否作出直线l，使l与双曲线C交于S，T两点，且OS⊥OT？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据

OA

•

AG

=1建立等式，求出m，然后根据基本不等式求出m的最小值，从而求出点G的坐标，代入双曲线方程求出b的值即可；
（2）若存在满足条件的直线l：y=kx+1（k≠0），设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），OS⊥OT⇒x₁x₂+y₁y₂=0，然后将直线与双曲线联立方程组进行求解即可．

解答：解：（1）

AG

=(m-t，3)，

OA

=(t，0)，

OA

•

AG

=t(m-t)=1⇒m=t+

1

t

≥2，t∈（0，+∞）
即t=1时，|

OG

|取最小值，此时G（2，3），设双曲线C的方程为x2-

y2

b2

=1，
则4-

9

b2

=1⇒b2=3，∴|

OG

|取最小值时双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1．
（2）若存在满足条件的直线l：y=kx+1（k≠0），设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），OS⊥OT⇒x₁x₂+y₁y₂=0（*）
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
由

y=kx+1 3x2-y2-3=0

⇒(3-k2)x2-2kx-4=0由△＞0⇒k²＜4
又x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-4

3-k2

代入（*）得：
∴

-4(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0⇒k2=-

1

3

⇒k∈?，即不存在满足条件的直线l．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及利用基本不等式的应用，属于中档题．