题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设向量 $数学公式$ =（a，cosB）， $数学公式$ =（b，cosA）且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ， $数学公式$ ≠ $数学公式$ ．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（a，cosB）， $\text{[math]}$ =（b，cosA），且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴a：b=cosB：cosA，即acosA=bcosB，
根据正弦定理化简得：2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A=2B或2A+2B=π，
又 $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ，故A≠B，∴A+B= $\text{[math]}$ ，
则C= $\text{[math]}$ ；
（2）∵A+B= $\text{[math]}$ ，
∴sinA+sinB=sinA+sin（ $\text{[math]}$ -A）=sinA+cosA= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ），
又0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤1，
∴1＜ $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，
则sinA+sinB的取值范围是（1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量平行时坐标的特点列出关系式，整理后利用正弦定理化简得到sin2A=sin2B，根据A和B的范围，得到2A及2B的范围，根据正弦函数的图象与性质得到2A=2B或2A+2B=π，由 $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ，得到A不等于B，可得出A和B互余，进而得到C的度数；
（2）由A与B互余，用A表示出B，代入sinA+sinB中，利用诱导公式化简后，提取 $\text{[math]}$ ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出正弦函数的值域，进而确定出所求式子的范围．
点评：此题考查了平面向量的数量积运算，正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．