题目内容

已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.

(1)证明对于任意向量ab及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;

(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;

(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.

(1)证明:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),

则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),

又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),

所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2).

所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).

(2)解:f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).

(3)解:由所以c=(1,3).

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