题目内容

已知向量
u
=(x，y)与向量
v
=(y，2y-x)的对应关系可用
v
=f(
u
)表示．
（1）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（2）证明：对于任意向量
a
、
b
及常数m、n，恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立；
（3）求使f(
c
)=(3，5)成立的向量
c
．
分析：（1）直接利用题中的对应关系求出 f（
a
 ）=（1，2-1）=（1，1），f（
b
）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2） 设出任意向量
a
、
b
的坐标，分别计算要证等式的左边的右边，比较计算结果可得等式成立．
（3）设
a
=（x，y），则 f（
a
）=（y，2y-x），∴
y=3
2y-x=5
，解方程可求向量
c
的坐标．
解答：解：（1）f（
a
 ）=（1，2-1）=（1，1），f（
b
）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴f(
a
)=(1，1)，f(
b
)=(0，-1)．
（2）设
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，∴m
a
+n
b
=（mx1+nx2，my1+ny2 ），
∴f（m
a
+n
b
 ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），
∴mf（
a
）+nf（
b
）=m（y1，2y1-x1 ）+n（y2，2y2-x2 ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），
∴对于任意向量
a
、
b
及常数m、n，f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．
（3）设
a
=（x，y），则 f（
a
）=（y，2y-x），∴
y=3
2y-x=5
，
∴x=1，y=3，∴
c
=(1，3)．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，以及用待定系数法求向量的坐标．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
u
=(x，y)与
v
=(y，2y-x)的对应关系用
v
=f(
u
)表示．
（Ⅰ）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（Ⅱ）求使f(
c
)=(p，q)，（p，q为常数）的向量
c
的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量
a
，
b
及常数m，n恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．
已知向量
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=(x，y)与向量
v
=(y，2y-x)的对应关系可用
v
=f(
u
)表示．
（1）设
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=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（2）证明：对于任意向量
a
、
b
及常数m、n，恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立；
（3）求使f(
c
)=(3，5)成立的向量
c
．
已知向量
u
=(x，y)与
v
=(y，2y-x)的对应关系用
v
=f(
u
)表示．
（Ⅰ）设
a
=(1，1)，
b
=(1，0)，求向量f(
a
)及f(
b
)的坐标；
（Ⅱ）求使f(
c
)=(p，q)，（p，q为常数）的向量
c
的坐标；
（Ⅲ）证明：对于任意向量
a
，
b
及常数m，n恒有f(m
a
+n
b
)=mf(
a
)+nf(
b
)成立．
已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.

(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

(3)求使f(c)=(3，5)成立的向量c.

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