题目内容
已知向量
=(x，y)与向量
=(y，2y-x)的对应关系可用
=f(
)表示．
（1）设
=(1，1)，
=(1，0)，求向量f(
)及f(
)的坐标；
（2）证明：对于任意向量
、
及常数m、n，恒有f(m
+n
)=mf(
)+nf(
)成立；
（3）求使f(
)=(3，5)成立的向量
．
| u |
| v |
| v |
| u |
（1）设
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）证明：对于任意向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）求使f(
| c |
| c |
（1）f（
）=（1，2-1）=（1，1），f（
）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴f(
)=(1，1)，f(
)=(0，-1)．
（2）设
=(x1，y1)，
=(x2，y2)，∴m
+n
=（mx1+nx2，my1+ny2 ），
∴f（m
+n
）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），
∴mf（
）+nf（
）=m（y1，2y1-x1 ）+n（y2，2y2-x2 ）=（ my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2 ），
∴对于任意向量
、
及常数m、n，f(m
+n
)=mf(
)+nf(
)成立．
（3）设
=（x，y），则 f（
）=（y，2y-x），∴
，
∴x=1，y=3，∴
=(1，3)．
| a |
| b |
∴f(
| a |
| b |
（2）设
| a |
| b |
| a |
| b |
∴f（m
| a |
| b |
∴mf（
| a |
| b |
∴对于任意向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）设
| a |
| a |
|
∴x=1，y=3，∴
| c |
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