Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；     
（2）用“五点法”画出函数f（x）的简图；
（3）求f（x）的单调增区间；  
（4）求f（x）的对称轴方程、对称点坐标．

Answer 1

分析：（1）直接求出函数的周期T，A以及ω，通过函数经过的特殊点求出φ，得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，通过列表，描点，连线画出函数的图象．
（3）利用正弦函数的单调增区间，求出f（x）的单调增区间；
（4）根据正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程，利用正弦函数的对称中心求出函数的对称中心坐标即可．

解答：解：（1）由题意可知，T=

π

2

×2=π，A=2，ω=

2π

T

=2，
∵2sin(2•

2π

3

+φ) =-2，∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

所以函数：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
列表


（3）因为ysinx的单调增区间为：[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

） 可得
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得  x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
f（x）的单调增区间：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]k∈Z
（5）函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）．因为2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z所以函数的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
因为2x+

π

6

=kπ，k∈Z所以函数的对称中心坐标为：（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，五点法作图，函数的单调性的应用，函数图象的平移伸缩变换，函数的最值，可以说一题概括三角函数的基本知识的灵活应用，考查计算能力．