Question

函数y=lnx关于直线x=1对称的函数为f（x），又函数y=

1

2

ax2+1(a＞0)的导函数为g（x），记h（x）=f（x）+g（x）．
（1）设曲线y=h（x）在点（1，h（1））处的切线为l，l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数h（x）的单调区间；
（3）求函数h（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求过（1，h（1））点的切线方程，根据l与圆（x+1）²+y²=1相切，利用点线距离等于半径可求a的值；
（2）先求导函数，结合函数的定义域，利用导数大于0的函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间
（3）根据（2）中函数的单调区间，结合区间[0，1]进行分类讨论，从而可求h（x）的最大值．

解答：解：（1）由题意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴h′(x)=a+

1

x-2

，过（1，h（1））点的直线的斜率为a-1，
∴过（1，h（1））点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圆心为（-1，0），半径为1，
由题意得

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，解得a=1．
（2）h′(x)=

ax-2a+1

x-2

=a[x-(2-

1

a

)]•

1

x-2

，x∈(-∞，2)．
∵a＞0，∴2-

1

a

＜2．
令h′（x）＞0，∴x＜2-

1

a

；
令h′（x）＜0，∴2-

1

a

＜x＜2，
所以，(-∞，2-

1

a

)是h（x）的增区间，(2-

1

a

，2)是h（x）的减区间．
（3）①当2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

时，h（x）在[0，1]上是减函数，
∴h（x）的最大值为h（0）=ln2．
②当0＜2-

1

a

＜ 1，即

1

2

＜a＜ 1时，，h（x）在(0，2-

1

a

)上是增函数，在(2-

1

a

，1)上是减函数，
∴当x=2-

1

a

时，h（x）的最大值为h(2-

1

a

)=2a-1-lna．
③当2-

1

a

≥1，即a≥1时，h（x）在[0，1]上是增函数，
∴h（x）的最大值为h（1）=a．
综上，当0＜a≤

1

2

时，h（x）的最大值为ln2；
当

1

2

＜a＜1时，h（x）的最大值为2a-1-lna；
当a≥1时，h（x）的最大值为a．

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间与最值，分类讨论是解题的关键与难点．