Question

如图为函数y=Asin（ωx+φ）的一段图象．
（1）请写出这个函数的一个解析式；
（2）求与（1）中函数图象关于直线x=2π，对称的函数图象的解析式，并作出它一个周期内的简图．

Answer 1

分析：（I）由函数的周期求出ω，由顶点的纵坐标求A，把定点的坐标代入求出φ的值，从而得到函数的解析式．
（II）设（x，y）为所求函数图象上任意一点，该点关于直线x=2π对称点为（4π-x，y），则点（4π-x，y）必在函数y=3sin(

1

2

x-

π

6

)的图象上．由此求出关于直线x=2π对称的函数图象的解析式，列表做出图象．

解答：解：（I）T=

13π

3

-

π

3

=4π，∵ω=

2π

T

=

1

2

，又A=3，
由y=3sin(

1

2

x+φ)的图象过(

π

3

，0)，∴0=3sin(

1

2

×

π

3

+φ)，φ=-

π

6

（为其中一个值）．
∴y=3sin(

1

2

x-

π

6

)为所求．
（II）设（x，y）为所求函数图象上任意一点，该点关于直线x=2π对称点为（4π-x，y），
则点（4π-x，y）必在函数y=3sin(

1

2

x-

π

6

)的图象上．
∴y=3sin[

1

2

(4π-x)-

π

6

]，即y=-3sin(

1

2

x-

π

6

)，
∴与y=3sin(

1

2

x-

π

6

)的图象关于直线x=2π对称的函数图象的解析式是y=-3sin(

1

2

x+

π

6

)．
列表：

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
1 2 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	-3	0	3	0

作图：

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．