题目内容
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=
,AB=
AD=a,
∠ADC=arccos
,PA⊥面ABCD且PA=a.
(1)求异面直线AD与PC间的距离;
(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为



∠ADC=arccos

(1)求异面直线AD与PC间的距离;
(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为


(1)AE=
a (2)在AD上存在满足条件的点F.

(1)∵BC∥AD,BC
面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE⊥PB,又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC,AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a
∴AE=
a
(2)作CM∥AB,由已知cosADC=
∴tanADC=
,即CM=
DM
∴ABCM为正方形,AC=
a,PC=
a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中,得AH=
下面在AD上找一点F,使PC⊥CF
取MD中点F,△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.

从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE⊥PB,又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC,AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a
∴AE=

(2)作CM∥AB,由已知cosADC=

∴tanADC=


∴ABCM为正方形,AC=


过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中,得AH=

下面在AD上找一点F,使PC⊥CF
取MD中点F,△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.

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