题目内容

已知向量
a
=(sinx， 
3
2
)， 
b
=(cosx， -1)，
（1）求函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
的最小正周期及值域；
（2）求函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
在[-
π
2
， 0]上的值域．
分析：（1）由数量积的定义和三角函数的运算可得f（x）=
2
2
sin（2x+
π
4
），可得周期和值域；（2）由x的范围可得2x+
π
4
的范围，可得sin（2x+
π
4
）的范围，进而可得答案．
解答：解：（1）由题意可得f(x)=(
a
+
b
)•
b
=
a
•
b
+
b
2
=sinxcosx-
3
2
+cos2x+1=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x
=
2
2
sin（2x+
π
4
），
∴函数f（x）的最小正周期为
2π
2
=π，值域为[-
2
2
，
2
2
]
（2）∵x∈[-
π
2
， 0]，
∴2x+
π
4
∈[-
3π
4
，
π
4
]，
∴sin（2x+
π
4
）∈[-1，
2
2
]，
∴f（x）=
2
2
sin（2x+
π
4
）∈[-
2
2
，
1
2
]
故函数f（x）的值域为：[-
2
2
，
1
2
]
点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的化简和值域，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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