题目内容
（2013•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
分析：由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．
解答：
解：∵F1，F2是椭圆C
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图：
∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②
①+②得：x+4+3-x+5=4a，
∴a=3，x=2．
在Rt△F1F2A中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
∴4c2=4+16=20，
∴c=
．
∴椭圆的离心率为e=
．
故答案为：
．
解：∵F1，F2是椭圆C| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②
①+②得：x+4+3-x+5=4a，
∴a=3，x=2．
在Rt△F1F2A中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
∴4c2=4+16=20，
∴c=
| 5 |
∴椭圆的离心率为e=
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．
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