Question

甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有x个红球、y个白球、z个（x，y，z≥1，x+y+z=10）黄球的箱子中任取一球，乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球． 规定：当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜．
（1）用x，y，z表示甲胜的概率；
（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数ξ的概率分布，并求E（ξ）最小时的x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）甲取红球、白球、黄球的概率分别为

x

10

，

y

10

，

z

10

，乙取红球、白球、黄球的概率分别为

5

10

，

3

10

，

2

10

，由此能求出甲胜的概率．
（2）由题设知ξ=0，1，2，3，分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）_min．

解答：解：（1）甲取红球、白球、黄球的概率分别为

x

10

，

y

10

，

z

10

，
乙取红球、白球、黄球的概率分别为

5

10

，

3

10

，

2

10

，
故甲胜的概率P=

5x

100

+

3y

100

+

2z

100

=

1

100

(5x+3y+2z)．
（2）由题设知ξ=0，1，2，3，从而ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1- 5x+3y+2z 100	5x 100	3y 100	2z 100

由x+y+z=10，得Eξ=

1

100

（5x+6y+6z）=

1

100

（60-x），
由x，y，z≥1，知1≤x≤8，
故当x=8，y=z=1时，E（ξ）_min=

13

25

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．