Question

已知函数f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，请求出一个长度为

1

4

的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度=b-a）．

Answer 1

分析：（1）根据对数的定义可知负数和0没有对数，列出关于x的不等式组，求出解集即可；
（2）要判断函数的奇偶性即求出f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系可得；
（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用对数的运算性质及对数的定义化简得到g（x）=0，然后在（-1，1）上取几个特殊值-

1

2

，0，-

1

4

，代入g（x）求出值判断任意两个乘积的正负即可知道之间是否有根．

解答：解：（1）要使函数有意义，则

1-x＞0 1+x＞0

，
∴-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）
（2）∵f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）由题意知方程f（x）=x+1?log₂（1-x）-log₂（1+x）=x+1，可化为（x+1）2^x+1+x-1=0
设g（x）=（x+1）2^x+1+x-1，x∈（-1，1）
则g(-

1

2

)=

1

2

×2

1

2

-

1

2

-1=

2 -3

2

＜0，g（0）=2-1=1＞0，
所以g(-

1

2

)g(0)＜0，故方程在(-

1

2

，0)上必有根；
又因为g(-

1

4

)=

3

4

×2

3

4

-

1

4

-1=

3 4 8 -5

4

=

4 648 - 4 625

4

＞0，
所以g(-

1

2

)g(-

1

4

)＜0，故方程在(-

1

2

，-

1

4

)上必有一根．
所以满足题意的一个区间为(-

1

2

，-

1

4

)．

点评：此题是一道综合题，要求学生会求对数函数的定义域，会判断函数的奇偶性，会判断根的存在性和根的个数．在做第三问时注意会取特殊值．