Question

在平面直角坐标系中，已知A_n（n,a_n）、B_n(n,b_n)、C_n(n-1,0)(n∈N^*)满足向量与向量共线，且点B_n(n,b_n)(n∈N^*)都在斜率为6的同一条直线上.

（1）试用a₁,b₁与n来表示a_n;

（2）设a₁=a,b₁=-a,且12＜a≤15,求数列{a_n}中的最小项.

Answer 1

解:（1）∵点B_n(n,b_n)(n∈N^*)都在斜率为6的同一条直线上，

∴=6,即b_n+1-b_n=6.

于是数列{b_n}是等差数列，故b_n=b₁+6(n-1).

∵=(1,a _n+1-a_n), =(-1,-b_n),又与共线,

∴1×(-b_n)-(-1)(a _n+1-a_n)=0，

即a _n+1-a_n=b_n.

∴当n≥2时，a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b _n-1=a₁+b₁(n-1)+3(n-1)(n-2).

当n=1时，上式也成立.

∴a_n=a₁+b₁(n-1)+3(n-1)(n-2).

（2）把a₁=a,b₁=-a代入上式，得a_n=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n²-（9+a）n+6+2a.∵12＜a≤15,

∴＜≤4.

∴当n=4时，a_n取最小值，最小值为a₄=18-2a.