Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2 3

3

，左、右焦点分别为F₁、F₂，在双曲线C上有一点M，使MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（3，1）的动直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析：（1）由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2 3

3

，知a²=3b²．由MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为1．知|MF₁||MF₂|=2．由此能导出双曲线C的方程．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又设直线l的倾斜角为θ(θ≠

π

2

)，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，A₁，B₁，则 |AP|=

|A1P1|

|cosθ|

=

3-x1

|cosθ|

，|PB|=

|P1B1|

|cosθ|

=

3-x2

|cosθ|

，|QB|=

|Q1B1|

|cosθ|

=

x2-x

|cosθ|

，|AQ|=

|A1Q1|

|cosθ|

=

x-x1

|cosθ|

，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记PBAQxyλ=

|AP|

|PB|

=

|AQ|

|QB|

．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支相交于两点A，B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，知

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记λ=

|AP|

|AQ|

=

|PB|

|QB|

．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，设

PA

=λ1

AQ

，

PB

=λ2

BQ

，则λ₁+λ₂=0．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．

解答：解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2 3

3

，
∴

a2+b2

a

=

2 3

3

．即a²=3b²．                      ①
∵MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为1．
∴S△MF1F2=

1

2

|MF1||MF2|=1，即|MF₁||MF₂|=2．
∵||MF₁|-|MF₂||=2a，
∴|MF₁|²-2|MF₁||MF₂|+|MF₂|²=4a²．
∴|F₁F₂|²-4=4a²．
∴4（a²+b²）-4=4a²，∴b²=1．                     ②
将②代入①，得a²=3．
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，又设直线l的倾斜角为θ(θ≠

π

2

)，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，A₁，B₁，
则 |AP|=

|A1P1|

|cosθ|

=

3-x1

|cosθ|

，|PB|=

|P1B1|

|cosθ|

=

3-x2

|cosθ|

，|QB|=

|Q1B1|

|cosθ|

=

x2-x

|cosθ|

，|AQ|=

|A1Q1|

|cosθ|

=

x-x1

|cosθ|

，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴（3-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（3-x₂），
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．③
设直线l的方程为y-1=k（x-3），④
将④代入

x2

3

-y2=1中整理，得
（1-3k²）x²-6k（1-3k）x-3[（1-3k）²+1]=0．
依题意x₁，x₂是上述方程的两个根，且1-3k²≠0，
∴

x1+x2= 6k(1-3k) 1-3k2 x1x2=- 3[(1-3k)2+1] 1-3k2

⑤
将⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，这就是点Q所在的直线方程．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂＜3，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴

AP

PB

=-

AQ

QB

，即

3-x1

x2-3

=-

x-x1

x2-x

，
即[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记
PBAQxyλ=

|AP|

|PB|

=

|AQ|

|QB|

．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支
相交于两点A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
∴

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．
即

(3-x1，1-y1)=-λ(x2-3，y2-1) (x-x1，y-y1)=λ(x2-x，y2-y).

∴

3= x1-λx2 1-λ x= x1+λx2 1+λ

③
由③消去λ，得[6-（x₁+x₂）]x=3（x₁+x₂）-2x₁x₂．
以下同解法1．
解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记λ=

|AP|

|AQ|

=

|PB|

|QB|

．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
设

PA

=λ1

AQ

，

PB

=λ2

BQ

，则λ₁+λ₂=0．
即

(x1-3，y1-1)=λ1(x-x1，y-y1) (x2-3，y2-1)=λ2(x-x2，y-y2).

∴

x1= 3+λ1x 1+λ1 y1= 1+λ1y 1+λ1 .

x2= 3+λ2x 1+λ2 y2= 1+λ2y 1+λ2 .

∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线C上，
∴(

3+λix

1+λi

)2-3(

1+λiy

1+λi

)2=3，其中i=1，2．
∴λ₁，λ₂是方程(

3+λx

1+λ

)2-3(

1+λy

1+λ

)2=3的两个根．
即λ₁，λ₂是方程（x²-3y²-3）λ²+6（x-y-1）λ+3=0的两个根．
∵λ₁+λ₂=0，且x²-3y²-3≠0，
∴λ1+λ2=-

6(x-y-1)

x2-3y2-3

=0，即x-y-1=0．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．

点评：本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力