Question

已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N₊,都能使m整除f(n),如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

思路分析：因为f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36, …,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：（1）当n=1时，f(1)=36,能被36整除；

（2）假设当n=k时，f(k)能被36整除，则当n=k+1时，f(k+1)=［2(k+1)+7］·3^k+1+9

=3［(2k+7)·3^k+9］+18(3^k-1-1),

由归纳假设3［(2k+7)·3^k+9］能被36整除，而3^k-1-1是偶数，

所以18（3^k-1-1）能被36整除，

所以f(k+1)能被36整除.

    由（1）（2），得f(n)能被36整除，由于f(1)=36，故能整除f(n)的最大整数是36.