Question

已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都能使m整除f(n)，求最大的m的值.

Answer 1

解：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,

∴f(1)、f(2)、f(3)能被36整除.猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1，2时，由上得证.

设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，

则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1－(2k+7)·3^k

=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k

=36(k+5)·3^k－2(k≥2).

∴f(k+1)能被36整除.

∵f(1)不能被大于36的数整除,

∴所求最大的m的值等于36.