题目内容

已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n),猜测出最大的m的值。并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。

【解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用,以及数学归纳法的证明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除

然后证明n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,

f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2)  证明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除 

证明  n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,

f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36

 

【答案】

m值等于36

 

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网