题目内容
已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n),猜测出最大的m的值。并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。
【解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用,以及数学归纳法的证明。
∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除
然后证明n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2) 证明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除
证明 n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36
【答案】
m值等于36
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