Question

已知等轴双曲线C：x²-y²=a² （a＞0）上一定点P（x，y）及曲线C上两动点AB满足（-）•（-）=0，（其中O为原点）
（1）求证：（+）•（+）=0；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用坐标表示向量，利用点满足双曲线方程，可证数量积为0；
（2）先由弦长公式得|PA|=，|PB|=，再利用勾股定理求|AB|的长，从而使问题得解．
解答：解：（1）因P（x，y）在双曲线C：x²-y²=a² 上，故x²-y²=a²．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁²-y₁²=a²，②x₂²-y₂²=a²    ③
=（x₁-x，y₁-y），=（x₂-x，y₂-y），由于（-）•（-）=0，∴（x₁-x）（x₂-x）=-（y₁-y）（y₂-y） ④
且点A，B分别在双曲线的两支．
②-①得（x₁-x）（x₁+x）=（y₁-y）（y₁+y）                ⑤
同理（x₂-x）（x₂+x）=（y₂-y）（y₂+y）                           ⑥
⑤×⑥÷④得（x₁+x）（x₂+x）=-（y₁+y）（y₂+y）．
∴（+）•（+）=[（x+x₁）（x+x₂）+（y+y₁）（y+y₂）]=0．
（2）为简单起见，记x=m，y=n，不妨设PA的方程为x=m+k（y-n），其中kmn≥0，⑦
代入x²-y²=a²，化简得（k²-1）y²+（2km-2k²n）y-2kmn+（1+k²）n²=0，
解得y₁=n，y₂=⑧
由弦长公式得|PA|=，|PB|=，
设f（k）=|AB|²-4（m²+n²）=|PA|²+|PB|²-4（m²+n²）=≥0
当k→∞时，f（k）→0，∴|AB|的最小值是，即2|OP|=2
点评：本题主要考查向量与解析几何的结合，考查设而不求法的运用，属于难题．