题目内容
（2009•普陀区二模）已知等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点． 过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，|
| =
．
（1）求等轴双曲线C的方程；
（2）假设过点F且方向向量为
=(1，2)的直线l交双曲线C于A、B两点，求
•
的值；
（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得
•
为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
| OP |
| 2 |
（1）求等轴双曲线C的方程；
（2）假设过点F且方向向量为
| d |
| OA |
| OB |
（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得
| PM |
| PN |
分析：（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据P点为过F作一条渐近线的垂线FP的垂足，以及|
| =
，可求出双曲线中c的值，借助双曲线中a，b，c的关系，得到双曲线方程．
（2）根据直线l的方向向量以及f点的坐标，可得直线l的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2的值，代入
•
中，即可求出
•
的值．
（3）先假设存在定点P，使得
•
为常数，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，解x1+x2，x1x2，用含k的式子表示，再代入
•
中，若
•
为常数，则结果与k无关，求此时m的值即可．
| OP |
| 2 |
（2）根据直线l的方向向量以及f点的坐标，可得直线l的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2的值，代入
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
（3）先假设存在定点P，使得
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
解答：解：（1）设右焦点坐标为F（c，0），（c＞0），
∵双曲线为等轴双曲线，∴渐近线必为y=±x
由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且∠POF=
．
∴△OPF为等腰直角三角形，则由|
|=
⇒|
|=c=2
又∵等轴双曲线中，c2=2a2⇒a2=2
∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=2
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点
∵F（2，0），直线l的方向向量为
=（1，2），
∴直线l的方程为
=
，即y=2（x-2）
代入双曲线C的方程，可得，x2-4（x-2）2=2⇒3x2-16x+18=0
∴x1+x2=
，x1x2=6，
而
•
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1-2）（x2-2）=5x1x2-8（x1+x2）+16=
（3）假设存在定点P，使得
•
为常数，
其中，M（x1，y1），N（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点的坐标，
①当直线l与x轴不垂直是，设直线l的方程为y=k（x-2），
代入双曲线C的方程，可得（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0
由题意可知，k=±1，则有x1+x2=
，x1x2=
∴
•
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）
=（4k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2
=
-
+4k2+m2
=
+m2=
+m2+2（1-2m）
要使
•
是与k无关的常数，当且仅当m=1，此时，
•
=-1
②当直线l与x轴垂直时，可得点M（2，
），N（2，-
）
若m=1，
•
=-1亦为常数
综上可知，在x轴上是否存在定点P（1，0），使得
•
=-1为常数．
∵双曲线为等轴双曲线，∴渐近线必为y=±x
由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且∠POF=
| π |
| 4 |
∴△OPF为等腰直角三角形，则由|
| OP |
| 2 |
| OF |
又∵等轴双曲线中，c2=2a2⇒a2=2
∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=2
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点
∵F（2，0），直线l的方向向量为
| d |
∴直线l的方程为
| x-2 |
| 1 |
| y |
| 2 |
代入双曲线C的方程，可得，x2-4（x-2）2=2⇒3x2-16x+18=0
∴x1+x2=
| 16 |
| 3 |
而
| OA |
| OB |
| 10 |
| 3 |
（3）假设存在定点P，使得
| PM |
| PN |
其中，M（x1，y1），N（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点的坐标，
①当直线l与x轴不垂直是，设直线l的方程为y=k（x-2），
代入双曲线C的方程，可得（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0
由题意可知，k=±1，则有x1+x2=
| 4k2 |
| k2-1 |
| 4k2+2 |
| k2-1 |
∴
| PM |
| PN |
=（4k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2
=
| (k2+1)(4k2+2) |
| k2-1 |
| 4k2(2k2+m) |
| k2-1 |
=
| 2(1-2m)k2+2 |
| k2-1 |
| 4(1-m) |
| k2-1 |
要使
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
②当直线l与x轴垂直时，可得点M（2，
| 2 |
| 2 |
若m=1，
| PM |
| PN |
综上可知，在x轴上是否存在定点P（1，0），使得
| PM |
| PN |
点评：本题考查了等轴双曲线的方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．
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