Question

【题目】定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（ ）
A.f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）
B.f（2﹣x1）=f（2﹣x2）
C.f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）
D.f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x﹣1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立， 此时当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．
②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（﹣x+1），
即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2﹣x1）=f（x1），f（2﹣x2）=f（x2）．
当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．
若x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得x1﹣1＜x2﹣1，即1≤x1＜x2 ， 所以f（x1）＞f（x2）．
同理若x1＜1，x2＜1，由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得﹣（x1﹣1）＜﹣（x2﹣1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．
若x1 ， x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1＜1，x2≥1，则﹣（x1﹣1）＜x2﹣1，
可得1＜2﹣x1＜x2 ， 所以f（2﹣x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．
综上有f（x1）＞f（x2），即f（2﹣x1）＞f（2﹣x2），
故选A．