Question

3．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）=x|x-1|+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，求x＞0时的解析式，从而可设x＞0，便有-x＜0，从而带入x＜0的f（x）解析式，即可得出f（x）=x|x+1|．f（x）为奇函数，从而有f（0）=0，这样便可写出f（x）的解析式．

解答 解：设x＞0，-x＜0，则：f（-x）=-x|-x-1|=-x|x+1|=-f（x）；
∴f（x）=x|x+1|；
f（x）在R上为奇函数；
∴f（0）=0，显然满足x＞0时f（x）解析式；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x|x-1|+1}&{x＜0}\\{x|x+1|}&{x≥0}\end{array}\right.$．

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数或偶函数，知道一曲间上的解析式，求对称区间解析式的方法和过程，以及分段函数的概念，不要漏了x=0的情况．