Question

过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4

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．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

Answer 1

分析：（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；
（2）证明x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到OA⊥OB．

解答：（1）解：直线方程为y=-x+4，联立方程

y=-x+4 y2=2px

消去y得，x²-2（p+4）x+16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
所以|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=

2

•

4(P+4)2-4×16

=4

10

，所以p=2．
（2）证明：由（1）知，x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴OA⊥OB．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．