题目内容
过点（0，4）、斜率为-1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A，B，如果OA⊥OB（O为原点）求P的值及抛物线的焦点坐标．
分析：联立方程
，利用根与系数的关系求得y1y2的值，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，解出p值，即得
抛物线方程和焦点坐标．
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抛物线方程和焦点坐标．
解答：解：直线方程为y=-x+4，联立方程
，消去y得，x2-2（p+4）x+16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2-64＞0．
所以：y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p，p＞0．
由已知OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，从而16-8p=0，得p=2．
所以抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0）．
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设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2-64＞0．
所以：y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p，p＞0．
由已知OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，从而16-8p=0，得p=2．
所以抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0）．
点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，两直线垂直的性质，求出p=2是解题的关键．
练习册系列答案
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交于两点A，B，如果
（O为原点）求P的值及抛物线的焦点坐标.
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