Question

（2011•重庆模拟）设函数f（x）=（x-2）²+blnx，其中b为常数．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域上单调递增，求b的取值范围；
（Ⅱ）若b≤0，求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）当b=-6时，利用函数f（x）的性质证明：对任意大于1的正整数n，不等式

1

6n2

-

1

6

＜ln(2n+1)-lnn＜

1

6n2

-

1

6

+ln3恒成立．

Answer 1

分析：（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于 2得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；
（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；
（3）由b=-6，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为 3，得到函数的递减区间为（0，3），根据当n＞1时，2＜2+

1

n

＜3，利用函数为减函数恒有 f(2)＜f(2+

1

n

)＜f(3)，化简得证．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-4+

b

x

=

2x2-4x+b

x

=

2(x-1)2+b-2

x

(x＞0)．
∴当 b＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）令 f′(x)=2x-4+

b

x

=

2x2-4x+b

x

=0，
得 x1=1-

4-2b

2

，x2=1+

4-2b

2

．
当b≤0时，x1=1-

4-2b

2

≤0∉（0，+∞）（舍去），
而 x2=1+

4-2b

2

≥ 1∈（0，+∞），
此时：f′（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点 x2=1+

4-2b

2

；
（3）由（2）可知当b=-6时，函数f（x）=（x-2）²-6lnx，此时f（x）有惟一极小值点：x=3，
且 x∈（0，3）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，3）为减函数．
∵当n＞1时，2＜2+

1

n

＜3，
∴恒有 f(2)＜f(2+

1

n

)＜f(3)，
∴当n＞1时，恒有不等式

1

6n2

-

1

6

＜ln(2n+1)-lnn＜

1

6n2

-

1

6

+ln3成立．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据函数的单调性得到函数的极值，掌握导数在最值问题中的应用，是一道综合题．学生做题时应注意找出函数的定义域．第三问的突破点是令b=-6，然后利用增减性进行证明．