Question

设双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l₁、l₂上的点，且2|AB|=5|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用离心率为2，结合c²=a²+3，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根据A、B分别为l₁、l₂上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．
解答：解：（Ⅰ）∵e=2，∴c²=4a²
∵c²=a²+3，∴a=1，c=2
∴双曲线方程为，渐近线方程为
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y）
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=|F₁F₂|=×2c=10，∴=10
∵，，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴，
∴
∴，对应的曲线为椭圆．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．