Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．
（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，

又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴ ，解得m=2

（2）解：当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，

则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，

设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，

于是 ，

所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．

综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，

即t的取值范围为（﹣∞，5]

【解析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．