题目内容

如图,已知分别是椭圆的四个顶点,△是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)若点是圆劣弧上一动点(点异于端点),直线分别交线段,椭圆于点,直线交于点
(ⅰ)求的最大值;
(ⅱ)试问:两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

(1),(2)(ⅰ),(ⅱ).

解析试题分析:(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 由题意知,,所以,所以椭圆的方程为,求圆的方程,有两个选择,一是求圆的标准方程,确定圆心与半径,二是求圆的一般方程,只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单,如易得圆心,所以圆的方程为(2)(ⅰ)本题关键分析出比值暗示的解题方向,由于点轴上,所以,因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,联立,消去并整理得,,解得点,因此当且仅当时,取“=”,所以的最大值为.(ⅱ)求出点的横坐标,分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为,与直线的方程联立,解得点,所以两点的横坐标之和为
试题解析:(1)由题意知,
所以,所以椭圆的方程为,           2分
易得圆心,所以圆的方程为.4分
(2)解:设直线的方程为
与直线的方程联立,解得点,     6分
联立,消去并整理得,,解得点
9分 
(ⅰ)
,当且仅当时,取“=”,
所以的最大值为.                             12分
(ⅱ)直线

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