Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，对任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）f（b）且对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）证明：函数y=f（x）在R上是增函数；
（3）若f（x）f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令a=b=0，f（0）=[f（0）]2，又∵f（0）≠0，∴f（0）=1

（2）解：证明：设任意x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，

f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）f（x1），

∵f（x1）＞0，∴ ，

∴f（x2）＞f（x1），

∴函数y=f（x）在R上是增函数

（3）解：f（x）f（2x﹣x2）=f（3x﹣x2）＞f（0），

∵f（x）是R上增函数，

∴3x﹣x2＞0，

∴0＜x＜3

【解析】（1）令a=b=0，可求f（0）=1，（2）设任意x1＜x2，则x2﹣x1＞0，可得到f（x2）＞f（x1），即函数为单调递增，（3）利用函数的单调性及抽象函数的关系进行求解即可.