题目内容
【题目】已知函数f（x）= 
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；
（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ 
恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】
（1）解：易知f（x）定义域为（0，+∞）， 
，令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
（2）解：∵g（x）=1+lnx+mx， 
，x∈（0，e]，
①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）max=g（e）=me+2≥0，不合题意．
②若m＜0，则由g'（x）＞0，即 
，若 
，g（x）在（0，e]上是增函数，
由①知不合题意．
由g'（x）＜0，即 
．
从而g（x）在 
上是增函数，在 
为减函数，
∴ 
，令ln（ 
）=﹣3，所以m=﹣e3，
∵ 
，∴所求的m=﹣e3
（3）解：∵x≥1时， 
恒成立，∴ 
，
令 
，
∴ 
恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）min=h（1）=2，∴k≤2
【解析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．（2）求出 ，x∈（0，e]，通过①若m≥0，②若m＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m．（3）利用x≥1时， 恒成立，分离变量，构造函数 ，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
