Question

（本小题满分12分）

如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且已知椭圆D：的焦距等于，且过点

( I ) 求圆C和椭圆D的方程；

(Ⅱ) 若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

 

Answer 1

【答案】

(1) 圆的方程是 ，椭圆的方程为.

(2)利用直线的斜率互为相反数来证明

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）设圆的半径为，由题意，圆心为，因为，

所以

故圆的方程是 ①

在①中，令解得或，所以

由得，故

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为

由得

设

则 

因为

=0.

所以，

当或时，，此时，对方程，，不合题意.

所以直线与直线的倾斜角互补.

考点：本试题考查了圆和椭圆的方程。

点评：解决该试题的关键是利用待定系数法来和题目中的条件得到关系式，求解得到方程，同时对于直线与椭圆相交时，判定直线的倾斜角互补，只要求解斜率互为相反数即可，属于中档题。