题目内容
已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α
分析：证明直线与平面垂直，根据定义，需证明直线与平面内的任一直线垂直，故可利用平面向量基本定理，将平面内的任一向量用一组基底表示，证明当直线与基底垂直时，就垂直于平面内的任一向量，利用数量积运算即可得证
解答：解：设直线m的方向向量为
，直线n的方向向量为
，直线l的方向向量为
，
∵m，n是平面α内的两条相交直线
∴
与
是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为
，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使
=λ
+μ
又∵l⊥m，l⊥n，∴
•
=0，
•
=0
∴
•
=
•(λ
+μ
)=λ
•
+μ
•
=0
∴
⊥
∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：
l⊥α
| m |
| n |
| l |
∵m，n是平面α内的两条相交直线
∴
| m |
| n |
| a |
| a |
| m |
| n |
又∵l⊥m，l⊥n，∴
| l |
| m |
| l |
| n |
∴
| l |
| a |
| l |
| m |
| n |
| l |
| m |
| l |
| n |
∴
| l |
| a |
∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：
l⊥α
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定定理及其证明方法，平面向量基本定理的应用，利用平面向量解决几何问题的方法
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