题目内容

已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α

解：设直线m的方向向量为 $\text{[math]}$ ，直线n的方向向量为 $\text{[math]}$ ，直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，
∵m，n是平面α内的两条相交直线
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为 $\text{[math]}$ ，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$
又∵l⊥m，l⊥n，∴ $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =0
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ =0
∴ $\text{[math]}$
∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：
l⊥α
分析：证明直线与平面垂直，根据定义，需证明直线与平面内的任一直线垂直，故可利用平面向量基本定理，将平面内的任一向量用一组基底表示，证明当直线与基底垂直时，就垂直于平面内的任一向量，利用数量积运算即可得证
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定定理及其证明方法，平面向量基本定理的应用，利用平面向量解决几何问题的方法