Question

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：
（1）f₁（x）=sinx+cosx；     （2）f₂（x）=

2

sinx+

2

；      （3）f₃（x）=sinx；
（4）f₄=

2

（sinx+cosx）；    （5）f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）．
其中“互为生成”函数有

（1）（2）（5）

．（把所有可能的函数的序号都填上）

Answer 1

分析：利用辅助角公式将（1）f₁（x）=sinx+cosx转化为f₁（x）=

2

sin（x+

π

4

），f₄=

2

（sinx+cosx）转化为：f₄=2sin（x+

π

4

），利用倍角公式与辅助角公式将f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）转化为f₅（x）=sinx+1+cosx，再判断即可．

解答：解：∵（1）f₁（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
（2）f₂（x）=

2

sinx+

2

=

2

（sinx+1），
（3）f₃（x）=sinx，
（4）f₄=

2

（sinx+cosx）=

2

•

2

sin（x+

π

4

）=2sin（x+

π

4

），
（5）f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）=sinx+1+cosx=

2

sin（x+

π

4

）+1，
∴f₁（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）右移

π

4

单位可以生成函数y=

2

sinx，
再将y=

2

sinx的图象向上平移

2

单位可得f₂（x）=

2

sinx+

2

，
将f₁（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）向上平移1个单位可得y=

2

sin（x+

π

4

）+1，即f₅（x）=2cos

x

2

（sin

x

2

+cos

x

2

）=sinx+1+cosx，
∴“互为生成”函数的有（1）（2）（5）．
故答案为：（1）（2）（5）．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查推理分析能力，属于难题．