Question

（2006•海淀区二模）如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：|

EF

|=2且EF⊥l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足

FM

=

MQ

，点P满足

PQ

∥

EF

，

PM

•

FQ

=0．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；
（2）若经过点E的直线l₁与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当

3

4

π≤θ＜π时，求直线l₁的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，求出

FM

，

MQ

，

PQ

，

EF

的坐标，由

FM

=

MQ

，

PQ

∥

EF

求出Q，M的坐标，由

PM

•

FQ

=0列式求出P点的轨迹；
（2）设出直线l₁ 的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两交点横坐标的和与积，进一步得到纵坐标的和与积，然后把

FA

，

FB

的数量积与模用含有k的代数式表示，代入向量夹角公式后可求值．

解答：解：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
xoy，设点P（x，y），则F（0，1），E（0，3），l：y=-1
∵

FM

=

MQ

，

PQ

∥

EF

，∴Q(x，-1)，M(

x

2

，0)
∵

PM

•

FQ

=0，∴(-

x

2

)•x+(-y)•(-2)=0．
即所求点P轨迹方程x²=4y；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
设直线l₁的方程为y=kx+3（k≠0）．
由

y=kx+3 x2=4y

，得x²-4kx-12=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12
∴y1y2=

x 2 1

4

•

x 2 2

4

=(

x1x2

4

)2=9
y1+y2=k(x1+x2)+6=4k2+6
∵

FA

=(x1，y1-1)，

FB

=(x2，y2-1)，
∴

FA

•

FB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-12+9-4k²-6+1
=-4k²-8．
又∵|

FA

|•|

FB

|=(y1+1)(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1=9+4k2+6+1=4k2+16
∴cosθ=

FA • FB

| FA |•| FB |

=

-4k2-8

4k2+16

=-

k2+2

k2+4

由于

3π

4

≤θ＜π，
∴-1＜cosθ≤-

2

2

，即-1＜

k2+2

k2+4

≤-

2

2

．
∴

k2+2

k2+4

≥

2

2

，∴k2≥2

2

，解得k≥

4	8

或k≤-

4	8

．
∴直线l₁ 的斜率k的取值范围是{k|k≥

4	8

或k≤-

4	8

}．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了与直线有关的动点轨迹方程问题，训练了平面向量在解题中的应用，利用根与系数关系解题是处理该题的关键，考查了学生的计算能力，是难题．