Question

已知函数f（x）=

ax

x+1

（a为非零常数），定义：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）当a=2时，求f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若对于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）当a确定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值确定．当a=2时，试通过对f_k（x）的探究，写出一个使得集合{f_k（x）}为有限集的真命题（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=

2x

x+1

，然后根据f_k+1（x）=f[f_k（x）]可求出f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若对于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，将f₂（x）的解析式求出代入可转化成a²=（a+1）x+1恒成立，从而求出a的值；
（3）结合（1）由a=2得到函数f（x）=

2x

x+1

，因为集合{f_k（x）}为有限集，可以令x=-

1

7

得到即可．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=

2x

x+1

∴f₂（1）=f[f（1）]=f（1）=1
f3(-

1

7

)=f{f[f(-

1

7

)]} =f[f(-

1

3

)] =f(-1)无意义
（2）若对于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立
∴f₂（x）=

a• ax x+1

ax x+1 +1

=

a2x

ax+x+1

=x恒成立即a²=（a+1）x+1恒成立
∴a=-1
（3）结合（1）满足条件的真命题为：函数f（x）=

2x

x+1

，若x=-

1

7

，则集合{f_k（x）}为有限集．

点评：本题主要考查了学生会利用函数的递推式解决数学问题，以及恒成立问题，属于中档题．