Question

若一动点M与定直线l：x=

16

5

及定点A（5，0）的距离比是4：5．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设所求轨迹C上有点P与两定点A和B（-5，0）的连线互相垂直，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）欲求轨迹C的方程，设动点M（x，y），充分利用题设条件转化为坐标表示即可；
（2）利用（1）中结论，利用双曲线的定义结合垂直条件得到的直角三角形，即可求得|PA|•|PB|的值．

解答：解：（1）设动点M（x，y），
根据题意得

|x- 16 5 |

(x-5)2+y2

=

4

5

，
化简得9x²-16y²=144，
即

x2

16

-

y2

9

=1．
（2）由（1）知轨迹C为双曲线，A、B即为C的两个焦点，
∴|PA|-|PB|=±8．①
又PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=100．②
由②-①²得|PA|•|PB|=18．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．