Question

（理）斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量平移得直线m，N是m上的动点，求的最小值．
（3）设C（p，0），D为抛物线y²=2px（p＞0）上一动点，是否存在直线l，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件，得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，
（2）设直线l的方程，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量坐标运算，求得 的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，再利用l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值，求出p，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），p=2时，直线AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0（2分）
则x₁+x₂=6，由定义可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．（4分）
（2）直线AB：，代入y²=2px（p＞0）中，可得：
则x₁+x₂=3p，，设，
则
即（2分）
由（4分）
则
当x=p时，的最小值为．                            （6分）
（3）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，
设CD的中点为O'，l与以CD为直径的圆相交于点P、Q，设PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，O'点的坐标为．
∵，
，（2分）
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²==，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=．                    （5分）
令，得，此时|PQ|=p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． （7分）
点评：此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．