题目内容
已知定义在实数集上的函数
fn(x)=xn,(n∈N*),其导函数记为
fn′(x),且满足
f2′[ax1+(1-a)x2]=,其中a、x
1、x
2为常数,x
1≠x
2.设函数g(x)=f
1(x)+mf
2(x)-lnf
3(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若m=1,求函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
分析:(Ⅰ)根据f
2(x)=x
2,∴f
2′(x)=2x,可得2[ax
1+(1-a)x
2]=
,化简即可求实数a的值;
(Ⅱ)求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,a=
,k=g′(x)=2mx-
+1,k′=2m+
;分类讨论:①当-6≤m<0或m>0时,k′≥0恒成立,最大值为m-5;②当m<-6时,确定函数的单调性,从而可求最大值.
解答:解:(Ⅰ)∵f
2(x)=x
2,∴f
2′(x)=2x
∴2[ax
1+(1-a)x
2]=
∴(x
1-x
2)(2a-1)=0
∵x
1≠x
2,∴a=
;
(Ⅱ)∵
f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3∴g(x)=mx
2+x-3lnx(x>0)
∵m=1,∴g(x)=x
2+x-3lnx(x>0)
∴
g′(x)=令g′(x)>0,∵x>0,∴x>1;令g′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1,
∴m=1时,函数g(x)的单调减区间是(0,1),增区间是(1,+∞);
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,a=
,k=g′(x)=2mx-
+1,k′=2m+
∵x∈[0,
],∴
∈[12,+∞)
∴①当-6≤m<0或m>0时,k′≥0恒成立,∴k=g′(x)在(0,
]上递增
∴当x=
时,k取得最大值,且最大值为m-5;
②当m<-6时,由k′=0,得x=
,而0<
<
若x∈(0,
),则k′>0,k单调递增;
若x∈(
,
),则k′<0,k单调递减;
故当x=
时,k取得最大值且最大值为1-2
综上,k
max=
.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.
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