Question

已知定义在实数集上的函数f（x）满足xf（x）为偶函数，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且当1≤x≤3时，f（x）=（2-x）³．
（1）求-1≤x≤0时，函数f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

Answer 1

分析：（1）先由xf（x）为偶函数得到f（x）是奇函数，设-1≤x≤0，则1≤x+2≤2，代入f（x）=-（x+2）²即可求出x∈[-1，0]的解析式；
（2）根据f（x+2）=-f（x）得到f（x）=-f（x-2），从而f（x+2）=f（x-2）得到周期T=4，即可求出f（2008）、f（2008.5）的值．

解答：解：（1）由xf（x）为偶函数可知：f（x）是奇函数．设-1≤x≤0，
则1≤x+2≤2
又f（x+2）=-f（x）可得：f（x）=x³，
（2）f（x+2）=-f（x）⇒f（x）=-f（x-2）
得：f（x+2）=f（x-2）知T=4
得：f（2008）=f（0）=0，f（2008.5）=f（0.5）=-f（-0.5）=

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点评：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及函数的解析式的求解等有关基础知识，属于基础题．