Question

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，
（2）求证：f（x）是奇函数，
（3）举出一个符合条件的函数y=f（x）．

Answer 1

分析：（1）由题意令x=0、y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y），求出f（0）的值；
（2）令y=-x代入f（x+y）=f（x）+f（y），再由（1）和奇函数的定义判断即可；
（3）根据（1）和（2）进行举例即可，从最简单的函数中举．

解答：解：（1）∵对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=0、y=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）∵对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
令y=-x，有f（x-x）=f（x）+f（-x）…（4分）
∴f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），x∈R…（5分）
∴函数f（x）是奇函数．…（6分）
（3）符合条件的函数f（x）=2x（答案不止一个只要符合要求都算正确）…（8分）

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性的证明以及求值，主要利用赋值法，即根据结论给变量适当的值，代入恒成立的方程化简即可．