题目内容
设函数,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1)求g(t)的表达式;
(2)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
【答案】分析:(1)首先求出函数f(x)的导数,然后根据导数与最值的关系求出函数的最小值,从而求出g(t),
(2)首先求出函数g(t)的导数,然后根据导数与单调性和极值的关系求出g(t)在区间(-1,1)内的单调性和极值.
解答:解:(1)由题意得数
=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=(sinx-t)2+4t3-3t+4,
又由|t|≤1,可得,当sinx=t时,(sinx-t)2取得最小值,
此时函数f(x)取得最小值,即g(x)=4t3-3t+4,
(2)g(x)=4t3-3t+4,则g′(x)=12t2-3t,t∈(-1,1),
令g′(x)=0可得t=±,
列表如下:
易得g(x)在区间(-1,-)和(,1)上为增函数,在区间(-,)上为减函数,
当t=-时,g(t)取极大值为4,
当t=时,g(t)取极小值为2.
点评:熟练掌握函数的导数与单调性和极值的关系,并会熟练运用其相关性质.
(2)首先求出函数g(t)的导数,然后根据导数与单调性和极值的关系求出g(t)在区间(-1,1)内的单调性和极值.
解答:解:(1)由题意得数
=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=(sinx-t)2+4t3-3t+4,
又由|t|≤1,可得,当sinx=t时,(sinx-t)2取得最小值,
此时函数f(x)取得最小值,即g(x)=4t3-3t+4,
(2)g(x)=4t3-3t+4,则g′(x)=12t2-3t,t∈(-1,1),
令g′(x)=0可得t=±,
列表如下:
t | (-1,-) | - | (-,) | (,1) | |
g′(t) | + | 0 | - | 0 | + |
g(t) | 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
当t=-时,g(t)取极大值为4,
当t=时,g(t)取极小值为2.
点评:熟练掌握函数的导数与单调性和极值的关系,并会熟练运用其相关性质.
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