Question

（本小题满分12分）
如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：对于任意的割线，恒有；
（3）求三角形△ABF面积的最大值．

Answer 1

解（1）∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴椭圆的标准方程为．     ………（3分）
（2）当的斜率为0时，显然=0，满足题意，
当的斜率不为0时，设方程为，
代入椭圆方程整理得：．
，，．
则

，
而
∴，从而．
综合可知：对于任意的割线，恒有．        ………（8分）
（3），
即：，
当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是．………（12分）

解析