Question

1．设函数f（x）=|$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x|．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）＞0，求x的取值范围；
（3）指出函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据对数有意义得出定义域．
（2）转化求解|log₂x|＞0，即可．
（3）分段表示得出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞1}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，0＜x＜1}\end{array}\right.$，利用对数函数的单调性与解析式的关系判断即可．

解答 解：函数f（x）=|$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x|=|log₂x|
（1）∵根据对数有意义得出：x＞0，
∴函数f（x）的定义域为：{x|x＞0}，
（2）∵函数f（x）＞0，
∴|log₂x|＞0，
即x≠1，且x＞0即可．
∴x的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）
（3）∵f（x）=|log₂x|=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞1}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，0＜x＜1}\end{array}\right.$
∴根据对数函数的性质判断得出f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．

点评 本题综合考察了对数函数的定义，性质，分段函数的概念性质，属于综合题目，但是难度不大．