已知集合Sn={X|X=(x1.x2.-.xn).x1∈{0.1}.i=1.2.-.n}对于A=(a1.a2.-an.).B=(b1.b2.-bn.)∈Sn.定义A与B的差为A-B=(|a1-b1|.|a2-b2|.-|an-bn|),A与B之间的距离为d(A.B)=i-1 |a1-b1|(Ⅰ)当n=5时.设A=.B=,(Ⅱ)证明:?A.B.C∈Sn.有A-B∈Sn.且d,(Ⅲ)证明:?A.B.C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x₁∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A与B之间的距离为d(A，B)=

i-1

|a1-b1|
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅲ）证明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．

分析：（Ⅰ）由题意中的定义和集合A、B求出A-B，再由A与B之间的距离公式d(A，B)=

i-1

|a1-b1|，求出d（A，B）；
（Ⅱ）根据题意设出集合A、B、C，则a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，n），故得A-B∈S_n，再分c_i=0和c_i=1两种情况求出d（A-C，B-C）和d（A，B）；
（Ⅲ）根据题意设出集合A、B、C，再根据（Ⅱ）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，A-B=（|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|）=（1，0，1，0，1），
d（A，B）=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3
（Ⅱ）证明：设A=（a₁，a₂，a_n），B=（b₁，b₂，b_n），C=（c₁，c₂，c_n）∈S_n
因为a₁，b₁∈{0，1}，所以|a₁-b₁|∈{0，1}（i=1，2，n）
从而A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a_n-b_n|）∈S_n
由题意知a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，n）
当c_i=0时，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|
当c_i=1时，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）|=|a_i-b_i|
所以d(A-C，B-C)=

n

i=1

|ai-bi|=d(A，B)
（Ⅲ）证明：设A=（a₁，a₂，a_n），B=（b₁，b₂，b_n），C=（c₁，c₂，c_n）∈S_n，
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
记0=（0，0，0）∈S_n，
由（Ⅱ）可知

d(A，B)=d(A-A，B-A)=d(0，B-A)=k

d(A，C)=d(A-A，C-A)=d(0，C-A)=l

d(B，C)=d(B-A，C-A)=h

所以|b_i-a_i|（i=1，2，n）中1的个数为k，|c_i-a_i|（i=1，2，n）中1的个数为l
设t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的个数．则h=l+k-2t
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数
即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．

点评：本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质．

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A与B之间的距离为d(A，B)=

|ai-bi|
（Ⅰ）证明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅱ）证明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）设P⊆S_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为

(P)．
证明：

（2013•怀化三模）已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈N^*，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，A与B之间的距离为d（A，B）=

|ai-bi|．
（1）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，则a_{5=1或5
=1或5}；
（2）记I=（1，1，…，1）∈s_n．若A、B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=P，则d（A，B）的最大值为

（2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）设A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使

？说明理由；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S_n．若A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

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=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S₂₀．若A，B∈S₂₀，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．