题目内容
已知定义在R上的函数f（x）满足以下条件：①f（1）=2；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求证：
（1）f（0）=1；
（2）当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）函数f（x）在R上是单调增函数．
（1）f（0）=1；
（2）当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）函数f（x）在R上是单调增函数．
分析：（1）令x=0，y=1，利用条件可得结论；
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1，利用f（0）=1，可得结论；
（3）利用函数单调性的定义，设x1＜x2，证明
＜1，即可得到结论．
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1，利用f（0）=1，可得结论；
（3）利用函数单调性的定义，设x1＜x2，证明
| f(x1) |
| f(x2) |
解答：证明：（1）令x=0，y=1，则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）=2f（0）=2
∴f（0）=1；
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=
∴当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
∴
=
=
=f（x1-x2）＜1
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
∴f（0）=1；
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=
| 1 |
| f(-x) |
∴当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
∴
| f(x1) |
| f(x2) |
| f[(x1-x2)+x2] |
| f(x2) |
| f(x1-x2)f(x2) |
| f(x2) |
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
点评：本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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