Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣ x＞（x+1）lnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立．

又f′（x）=2x+a﹣ = ，令h（x）=2x2+ax﹣1，

∴ ，解得a≤﹣

（2）解：∵f（x）=x2+ax﹣lnx，

∴g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]．

∴g′（x）=a﹣ = （0＜x≤e），

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a= （舍去）；

②当0＜ ＜e时，g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，e]上单调递增，

∴g（x）min=g（ ）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；

③当 ≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a= （舍去）；

综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3

（3）证明：令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）得F（x）min=3，

令ω（x）= + ，ω′（x）= ，

当0＜x≤e时，ω′（x）≥0，ω（x）在（0，e]递增，

∴ω（x）max=ω（e）=3

故e2x﹣lnx＞ + ，即e2x2﹣ x＞（x+1）lnx

【解析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可；（2）由g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]，求出g（x）的导数，依题意，通过对a≤0、0＜ ＜e、及 ≥e的讨论，即可作出正确判断；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3，令φ（x）= + ，证明F（x）min＞φ（x）max即可；