题目内容
已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为| 3 | ||
|
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求
| OM |
| ON |
（3）在（2）的条件下，若G（s，0），H（k，0），且
| GM |
| HN |
分析：（1）由题意设出椭圆方程，由条件和a2=b2+c2求出a2和b2的值；
（2）设出点P的坐标和点A和B坐标，求出直线PA和PB的方程，令x=0求出点M和N坐标，即求出
、
的坐标，由向量的数量积运算求出
•
，根据点P在椭圆上求出值；
（3）由（2）求出点M和N坐标以及题意求出
，
，根据向量数量积运算和
⊥
求出关于sk的积，再由基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立的条件，进而求出G、H点坐标．
（2）设出点P的坐标和点A和B坐标，求出直线PA和PB的方程，令x=0求出点M和N坐标，即求出
| OM |
| ON |
| OM |
| ON |
（3）由（2）求出点M和N坐标以及题意求出
| GM |
| HN |
| GM |
| HN |
解答：解：（1）由题意设椭圆C的标准方程是
+
=1，
由题意知
=
，c=2，又因a2=b2+c2，
解得a2=9，b2=5，
∴椭圆C的标准方程为
+
=1．
（2）设P（x0，y0），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直线PA：y=
(x+3)，PB：y=
(x-3)
令x=0，分别代入上面的直线方程得：M（0，
），N（0，
），
∴
=(0，
)，
=(0，
)，
∴
•
=
•
=5．
（3）∵
=(-s，
)，
=(-k，
)
又∵
⊥
，∴
•
=sk+5=0，
∴两正方形的面积和为s2+k2=s2+
≥10
当且仅当s2=k2=5时，等式成立，
∴两正方形的面积和的最小值为10，此时G(-
，0)、H(
，0)．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由题意知
| a |
| b |
| 3 | ||
|
解得a2=9，b2=5，
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（2）设P（x0，y0），∵A（-3，0），B（3，0），
∴直线PA：y=
| y0 |
| x0+3 |
| y0 |
| x0-3 |
令x=0，分别代入上面的直线方程得：M（0，
| 3y0 |
| x0+3 |
| -3y0 |
| x0-3 |
∴
| OM |
| 3y0 |
| x0+3 |
| ON |
| -3y0 |
| x0-3 |
∴
| OM |
| ON |
| 3y0 |
| x0+3 |
| -3y0 |
| x0-3 |
（3）∵
| GM |
| 3y0 |
| x0+3 |
| HN |
| -3y0 |
| x0-3 |
又∵
| GM |
| HN |
| GM |
| HN |
∴两正方形的面积和为s2+k2=s2+
| 25 |
| s2 |
当且仅当s2=k2=5时，等式成立，
∴两正方形的面积和的最小值为10，此时G(-
| 5 |
| 5 |
点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标满足方程求出数量积的值，根据基本不等式和条件求出最值，注意“一正二定三相等”的利用，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．
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