Question

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求以椭圆C长轴的端点为焦点，离心率的双曲线的标准方程．

Answer 1

解：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为．
∵，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C长轴的端点坐标分别为（-3，0），（3，0）．
∴双曲线的焦点坐标分别为（-3，0），（3，0），∴c′=3…（7分）
又∵，则得a′=2…（8分）
由c′²=a′²+b′²得 b′²=5…（10分）
∴双曲线的标准方程为…（12分）
分析：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为，利用条件寻找几何量之间的关系，从而可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C长轴的端点坐标分别为（-3，0），（3，0），进而可得双曲线的焦点坐标，利用，即可确定双曲线的标准方程．
点评：本题重点考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，熟练运用几何量之间的关系是关键．